Knusper
14.04.07, 10:52
Hi,
da ich keinen am Wochende fragen kann, hoffe ich das hier einer bescheid weiß...
Ich lerne gerade ein bisschen LaTeX, und dachte ich nehm da einfach mal paar einfache Mathematikaufgaben aus dem Studium und lass dir mir von LaTeX setzen. Der Beispielcode ist unten...
Wenn ich das jetzt kompiliere, dann habe ich komischerweise sehr viel Rand oben und unten auf der Seite. Zum besseren Verständniss hänge ich mal die pdf, welche dvipdf erzeugt an diesen Post.
Ist das richig so? Die LaTeX Dokumente von unserem Prof. haben ja schon immer gut Rand oben und unten, aber bei mir ist das im Vergleich noch mehr.
Danke schonmal im Vorraus für eure Ratschläge...
\documentclass[a4paper]{scrartcl}
% UTF-8 Encoding
\usepackage[utf-8]{inputenc}
% Eurosymbol Zusatzpaket laden
\usepackage{eurosym}
% Zusatzpaket für deutsche Formatierungen laden, sowie Absatzeinzüge deaktivieren.
\usepackage[german]{babel}
% Zusatzpakete für mathematisches
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf-8]{inputenc}
\parindent0mm
\begin{document}
\title{Übungsserie 1 - Analysis I}
\author{Christian Herenz}
\date{}
\maketitle
\section*{Aufgabe 1}
\textbf{a)} Man beweise durch vollständige Induktion: \\
Für alle natürlichen Zaheln $n \geq1$ gilt $4^n + 15n - 1$ ist durch 9 teilbar.
\\
\textbf{b)} Für alle natürlichen Zahlen $n>3$ gilt: \\
$2^n+1>n^2$
\subsection*{Lösung zu Aufgabe 1a}
\begin{itemize}
\item Induktionsanfang (IA): Für $n=1$ gilt:
\[4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 18 \]
\[9 \mid 18\, ,\; \text{denn} 2 \cdot 9 = 18 \]
\item Induktionshypothese (IH): $ 9 \mid (4^n + 15n -1)$\\
\item Induktionsschluss (IS): $A(n) \longrightarrow A(n+1)$ \\
\begin{align*}
4^{(n+1)} + 15(n+1) -1 &= 4^n \cdot 4 + 15n + 15 -1 \\
&= 4 \cdot (4^n + 15n -1) - 3 \cdot 15 \cdot n + 3 + 15\\
&= 4 \cdot (4^n + 15n -1) - 45n + (4^1 + 15 \cdot 1 - 1)
\end{align*}
Folgendes gilt:
\begin{itemize}
\item $ 9 \mid (4^n + 15n -1)$\quad laut Induktionshypothese, also auch \\
$ 9 \mid 4 \cdot (4^n + 15n -1)$.
\item $9 \mid 45$, also auch $9 \mid 45 \cdot n$.
\item $9 \mid 4^1+15 \cdot 1 -1$ wie im Induktionsanfang gezeigt wurde.
\item Somit folgt:
\[ 9 \mid 4^{(n+1)} + 15 \cdot (n+1) -1 \]
\begin{flushright} $\square$ \end{flushright}
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsection*{Lösung zu Aufgabe 1b}
\begin{itemize}
\item (IA): $2^4 + 1 = 17 > 16 = 4^2$
\item (IS): $A(n) \longrightarrow A(n+1)$, das heißt $2^{n+1}>(n+1)^2$ muss
gelten, was man wie folgt zeigt:
\begin{align*} 2^{n+1}&>(n+1)^2 \\ \Longleftrightarrow 2^n + 1 + 2n +1 &> n^2
+2n +1 &&\text{(quadratische Ergänzung)} \\ \Longleftrightarrow 2^n + 2n +2 &>
(n+1)^2 &&(\star)
\end{align*} Für $n>3$ ist nun $2^n > 2n +1$ was ebenfalls durch vollständige
Induktion gezeigt wird:
\begin{itemize}
\item (IA): $2^4 = 16 > 9 = 2 \cdot 4 +1$
\item (IH): $2^n > 2n +1$ gilt.
\item (IS): $A(n) \longrightarrow A(n+1)$, das heißt $2^{n+1} > 2(n+1)+1$ muss
gelten.
\begin{align*} 2^{n+1} &> 2(n+1)+1 \\ 2 \cdot 2^n &> 2n +1 +2 \\ 2^n + 2^n &>
2n+1+2
\end{align*} Für $n>3$ gilt $2^n>2$ und laut (IH) $2^n>2n+1$.
\end{itemize} Somit kann in $(\star)$ $2n+1$ durch $2^n$ substituiert werden,
ohne die Aussage der Ungleichung zu verändern.
\begin{align*} 2^n + 2^n + 1 &> (n+1)^2 \\ 2^n(1+1)+1 &> (n+1)^2 \\ 2^n *2
+1&>(n+1)^2
\end{align*}
\begin{flushright} $\square$ \end{flushright}
\end{itemize}
\section*{Aufgabe 2}
Man bestimme die Mengen der reellen Zahlen, die folgende Ungleichungen erfüllen:\\
\[
\text{a)}\quad \frac{3x+2}{2x+3}> x+1 \qquad
\text{b)}\quad \frac{2x+1}{3x-3}> \frac{3x-3}{2x+1} \qquad
\text{c)}\quad \frac{2}{x+1} > \frac{1}{x-2} \qquad
\]
\subsection*{Lösung zu Aufgabe 2a}
$\frac{3x+2}{2x+3}> x+1$
Es ist sofort ersichtlich, dass $x \ne -\frac{3}{2}$. \\
Die Lösung der Ungleichung verlangt eine Fallunterscheidung:
\begin{itemize}
\item Für $x>\frac{3}{2}$:
\begin{align*}
3x+2 &> (x+1)(2x+3)\\
\Leftrightarrow 3x+2 &> 2x^2+2x+3x+3\\
\Leftrightarrow 2&>2x^2+2x+3\\
\Leftrightarrow -1&>2x^2+2x\\
\Leftrightarrow -1&>x^2+x^2+2x\\
\Leftrightarrow -1&>x^2+x^2+2x+1-1 \\
\Leftrightarrow -1&>x^2+(x+1)^2\\
\Leftrightarrow 0&>x^2+(1+x)^2\\
\Leftrightarrow -(x+1)^2 &> x^2 \quad \text{Wiederspruch!}
\end{align*}
\item Für $x<\frac{3}{2}$:
\begin{align*}
3x+2 &< (x+1)(2x+3)\\
\Leftrightarrow 3x+2 &< 2x^2+2x+3x+3\\
\vdots \\
-(x+1)^2 &< x^2 \quad \text{gilt}\; \forall x \in \mathbb{R}
\end{align*}
\end{itemize}
Die Vorraussetzung, welche zum Umformen der Gleichung getroffen wurde, führt
zu einer wahren Aussage, somit erfüllen alle $x$ unter dieser Bedingung die Ungleichung:
\[
L = \{ x \in \mathbb{R}: x< - \frac{3}{2}\}
\]
\subsection*{Lösung zu Aufgabe 2b}
\[\frac{2}{x+1}>\frac{1}{x-2}\]
Lösen der Ungleichung wiederum mittels Fallunterscheidung:
\begin{itemize}
\item Für $x>1$
\[2>\frac{x+1}{x-2}\]
\begin{itemize}
\item Für $x>2: \Leftrightarrow x>5$
\item Für $x<2: \Leftrightarrow x<5$
\end{itemize}
$\Rightarrow$ erste Teillösung: $x>5 \vee -1<x<2$
\item Für $x<1$
\begin{align*}
2&<\frac{x+1}{x-2} \\
\Leftrightarrow 2x-4&>x+1 \\
\Leftrightarrow x&>5 \quad \text{Wiederspruch zur Vorraussetzung}
\end{align*}
Somit existiert keine weitere Lösung.
\end{itemize}
\[
L=\{x \in \mathbb{R}:-1<x<2 \vee x>5\}
\]
\section*{Aufgabe 3}
Für jede positive reelle Zahl $p$ bestimme man alle reellen Lösungen folgender Gleichung:
\[
\sqrt{p+x} + \sqrt{p-x} = x
\]
\subsection*{Lösung zu Aufgabe 3}
\begin{align*}
\sqrt{p+x} + \sqrt{p-x} &= x &&\mid\text{quadrieren}\\
p + x + 2\sqrt{p+x}\sqrt{p-x}+p-x&=x^2\\
2p+2\sqrt{p^2-x^2}&=x^2\\
2\sqrt{p^2-x^2}&=x^2-2p&&\mid\text{quadrieren}\\
4p^2-4x^2&=x^4-4x^2p+4p^2\\
-4x^2&=x^4-4x^2p&&\mid :x^2\\
-4&=x^2-4p\\
x^2&=4p-4\\
|x|&=\sqrt{4p-4}\\
|x|&=2\sqrt{p-1} \quad;\quad p\geq1
\end{align*}
Da $\sqrt{p+x}>0$ und $\sqrt{p-x}>0$ ist $x>0$, somit können die
Betragsstriche weggelassen werden.
\[
x=2\sqrt{p-1} \quad \text{für} \;p\geq1
\]
\end{document}
da ich keinen am Wochende fragen kann, hoffe ich das hier einer bescheid weiß...
Ich lerne gerade ein bisschen LaTeX, und dachte ich nehm da einfach mal paar einfache Mathematikaufgaben aus dem Studium und lass dir mir von LaTeX setzen. Der Beispielcode ist unten...
Wenn ich das jetzt kompiliere, dann habe ich komischerweise sehr viel Rand oben und unten auf der Seite. Zum besseren Verständniss hänge ich mal die pdf, welche dvipdf erzeugt an diesen Post.
Ist das richig so? Die LaTeX Dokumente von unserem Prof. haben ja schon immer gut Rand oben und unten, aber bei mir ist das im Vergleich noch mehr.
Danke schonmal im Vorraus für eure Ratschläge...
\documentclass[a4paper]{scrartcl}
% UTF-8 Encoding
\usepackage[utf-8]{inputenc}
% Eurosymbol Zusatzpaket laden
\usepackage{eurosym}
% Zusatzpaket für deutsche Formatierungen laden, sowie Absatzeinzüge deaktivieren.
\usepackage[german]{babel}
% Zusatzpakete für mathematisches
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf-8]{inputenc}
\parindent0mm
\begin{document}
\title{Übungsserie 1 - Analysis I}
\author{Christian Herenz}
\date{}
\maketitle
\section*{Aufgabe 1}
\textbf{a)} Man beweise durch vollständige Induktion: \\
Für alle natürlichen Zaheln $n \geq1$ gilt $4^n + 15n - 1$ ist durch 9 teilbar.
\\
\textbf{b)} Für alle natürlichen Zahlen $n>3$ gilt: \\
$2^n+1>n^2$
\subsection*{Lösung zu Aufgabe 1a}
\begin{itemize}
\item Induktionsanfang (IA): Für $n=1$ gilt:
\[4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 18 \]
\[9 \mid 18\, ,\; \text{denn} 2 \cdot 9 = 18 \]
\item Induktionshypothese (IH): $ 9 \mid (4^n + 15n -1)$\\
\item Induktionsschluss (IS): $A(n) \longrightarrow A(n+1)$ \\
\begin{align*}
4^{(n+1)} + 15(n+1) -1 &= 4^n \cdot 4 + 15n + 15 -1 \\
&= 4 \cdot (4^n + 15n -1) - 3 \cdot 15 \cdot n + 3 + 15\\
&= 4 \cdot (4^n + 15n -1) - 45n + (4^1 + 15 \cdot 1 - 1)
\end{align*}
Folgendes gilt:
\begin{itemize}
\item $ 9 \mid (4^n + 15n -1)$\quad laut Induktionshypothese, also auch \\
$ 9 \mid 4 \cdot (4^n + 15n -1)$.
\item $9 \mid 45$, also auch $9 \mid 45 \cdot n$.
\item $9 \mid 4^1+15 \cdot 1 -1$ wie im Induktionsanfang gezeigt wurde.
\item Somit folgt:
\[ 9 \mid 4^{(n+1)} + 15 \cdot (n+1) -1 \]
\begin{flushright} $\square$ \end{flushright}
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsection*{Lösung zu Aufgabe 1b}
\begin{itemize}
\item (IA): $2^4 + 1 = 17 > 16 = 4^2$
\item (IS): $A(n) \longrightarrow A(n+1)$, das heißt $2^{n+1}>(n+1)^2$ muss
gelten, was man wie folgt zeigt:
\begin{align*} 2^{n+1}&>(n+1)^2 \\ \Longleftrightarrow 2^n + 1 + 2n +1 &> n^2
+2n +1 &&\text{(quadratische Ergänzung)} \\ \Longleftrightarrow 2^n + 2n +2 &>
(n+1)^2 &&(\star)
\end{align*} Für $n>3$ ist nun $2^n > 2n +1$ was ebenfalls durch vollständige
Induktion gezeigt wird:
\begin{itemize}
\item (IA): $2^4 = 16 > 9 = 2 \cdot 4 +1$
\item (IH): $2^n > 2n +1$ gilt.
\item (IS): $A(n) \longrightarrow A(n+1)$, das heißt $2^{n+1} > 2(n+1)+1$ muss
gelten.
\begin{align*} 2^{n+1} &> 2(n+1)+1 \\ 2 \cdot 2^n &> 2n +1 +2 \\ 2^n + 2^n &>
2n+1+2
\end{align*} Für $n>3$ gilt $2^n>2$ und laut (IH) $2^n>2n+1$.
\end{itemize} Somit kann in $(\star)$ $2n+1$ durch $2^n$ substituiert werden,
ohne die Aussage der Ungleichung zu verändern.
\begin{align*} 2^n + 2^n + 1 &> (n+1)^2 \\ 2^n(1+1)+1 &> (n+1)^2 \\ 2^n *2
+1&>(n+1)^2
\end{align*}
\begin{flushright} $\square$ \end{flushright}
\end{itemize}
\section*{Aufgabe 2}
Man bestimme die Mengen der reellen Zahlen, die folgende Ungleichungen erfüllen:\\
\[
\text{a)}\quad \frac{3x+2}{2x+3}> x+1 \qquad
\text{b)}\quad \frac{2x+1}{3x-3}> \frac{3x-3}{2x+1} \qquad
\text{c)}\quad \frac{2}{x+1} > \frac{1}{x-2} \qquad
\]
\subsection*{Lösung zu Aufgabe 2a}
$\frac{3x+2}{2x+3}> x+1$
Es ist sofort ersichtlich, dass $x \ne -\frac{3}{2}$. \\
Die Lösung der Ungleichung verlangt eine Fallunterscheidung:
\begin{itemize}
\item Für $x>\frac{3}{2}$:
\begin{align*}
3x+2 &> (x+1)(2x+3)\\
\Leftrightarrow 3x+2 &> 2x^2+2x+3x+3\\
\Leftrightarrow 2&>2x^2+2x+3\\
\Leftrightarrow -1&>2x^2+2x\\
\Leftrightarrow -1&>x^2+x^2+2x\\
\Leftrightarrow -1&>x^2+x^2+2x+1-1 \\
\Leftrightarrow -1&>x^2+(x+1)^2\\
\Leftrightarrow 0&>x^2+(1+x)^2\\
\Leftrightarrow -(x+1)^2 &> x^2 \quad \text{Wiederspruch!}
\end{align*}
\item Für $x<\frac{3}{2}$:
\begin{align*}
3x+2 &< (x+1)(2x+3)\\
\Leftrightarrow 3x+2 &< 2x^2+2x+3x+3\\
\vdots \\
-(x+1)^2 &< x^2 \quad \text{gilt}\; \forall x \in \mathbb{R}
\end{align*}
\end{itemize}
Die Vorraussetzung, welche zum Umformen der Gleichung getroffen wurde, führt
zu einer wahren Aussage, somit erfüllen alle $x$ unter dieser Bedingung die Ungleichung:
\[
L = \{ x \in \mathbb{R}: x< - \frac{3}{2}\}
\]
\subsection*{Lösung zu Aufgabe 2b}
\[\frac{2}{x+1}>\frac{1}{x-2}\]
Lösen der Ungleichung wiederum mittels Fallunterscheidung:
\begin{itemize}
\item Für $x>1$
\[2>\frac{x+1}{x-2}\]
\begin{itemize}
\item Für $x>2: \Leftrightarrow x>5$
\item Für $x<2: \Leftrightarrow x<5$
\end{itemize}
$\Rightarrow$ erste Teillösung: $x>5 \vee -1<x<2$
\item Für $x<1$
\begin{align*}
2&<\frac{x+1}{x-2} \\
\Leftrightarrow 2x-4&>x+1 \\
\Leftrightarrow x&>5 \quad \text{Wiederspruch zur Vorraussetzung}
\end{align*}
Somit existiert keine weitere Lösung.
\end{itemize}
\[
L=\{x \in \mathbb{R}:-1<x<2 \vee x>5\}
\]
\section*{Aufgabe 3}
Für jede positive reelle Zahl $p$ bestimme man alle reellen Lösungen folgender Gleichung:
\[
\sqrt{p+x} + \sqrt{p-x} = x
\]
\subsection*{Lösung zu Aufgabe 3}
\begin{align*}
\sqrt{p+x} + \sqrt{p-x} &= x &&\mid\text{quadrieren}\\
p + x + 2\sqrt{p+x}\sqrt{p-x}+p-x&=x^2\\
2p+2\sqrt{p^2-x^2}&=x^2\\
2\sqrt{p^2-x^2}&=x^2-2p&&\mid\text{quadrieren}\\
4p^2-4x^2&=x^4-4x^2p+4p^2\\
-4x^2&=x^4-4x^2p&&\mid :x^2\\
-4&=x^2-4p\\
x^2&=4p-4\\
|x|&=\sqrt{4p-4}\\
|x|&=2\sqrt{p-1} \quad;\quad p\geq1
\end{align*}
Da $\sqrt{p+x}>0$ und $\sqrt{p-x}>0$ ist $x>0$, somit können die
Betragsstriche weggelassen werden.
\[
x=2\sqrt{p-1} \quad \text{für} \;p\geq1
\]
\end{document}